\documentclass[times, utf8, zavrsni]{fer}
\usepackage{booktabs}

\begin{document}

% TODO: Navedite broj rada.
\thesisnumber{1133}

% TODO: Navedite naslov rada.
\title{Vođenje platforme za dinamičko pozicioniranje po liniji}

% TODO: Navedite vaše ime i prezime.
\author{Zoran Triska}

\maketitle

% Ispis stranice s napomenom o umetanju izvornika rada. Uklonite naredbu \izvornik ako želite izbaciti tu stranicu.
\izvornik

% Dodavanje zahvale ili prazne stranice. Ako ne želite dodati zahvalu, naredbu ostavite radi prazne stranice.
\zahvala{}

\tableofcontents

\chapter{Uvod}
Uvod rada. 

\chapter{PlaDyPos -  Platforma za dinamičko pozicioniranje i okruženje}
\section{Okruženje}
Završni rad je  razrađen na laboratorijskoj platformi nazvanoj PlaDyPos. Platforma je razvijena od grupe studenata uključujući i autora ovog rada za potrebe testiranja različitih algoritama upravljanja (\emph{dynamic positioning, line following, path following, point-to-point guidance}) u laboratorijskom bazenu. Kompletan sustav upravljanja i okruženje u kojem se ono ostvaruje prikazano je na slici 2.1.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=9.6cm, width=14.8cm, trim=2 0 2 3]{Final_2_21.png}
\caption{\emph{Laboratorijski bazen LAPOST-a}}
\label{fig:fer-logo}
\end{figure}

Platormom se upravlja unutar bazena. Nadalje, ostvarena je bežićna serijska komunikacija s računalom uz bazen na kojem se nalaze algoritmi upravljanja. Bitno je napomenuti da se svi algoritmi izvode na računalu dok se na platformu šalju samo upravljački signali za svaki potisnik. Pri tome koristi se RS-232 standard, a komunikacija je realizirana korišteljenjem LabVIEW VI-a. Komunikacija je u jednom smjeru, od računala prema platformi. Radio predajnik prima podatke sa serijskog porta i šalje informacije o brzinama na platformu. Brzina prijenosa je 2400 baud/s, a prijenos se obavlja u pojasu od 433 MHz.  Iznad bazena nalazi se web-kamera koja je jedina povratna veza u sustavu. Iz nje se, obradom slike i prepoznavanjem markera na platformi određuju trenutne koordinate i orijentacija platforme. Obrada slike je također razvijena u LabVIEW-u. Ovaj segment sustava je jako bitan jer je cijela identifikacija napravljena na temelju mjernih jedinica koje su izražene ili imaju neke veze sa pixelima. Vidno polje kamere je predstavljeno dimenzijama 640x480 što je otprilike $1.5m x 1.5m$. 

\section{PlaDyPos}
PlaDyPos, kao što i samo ime sugerira, je platforma za dinamičko pozicioniranje. Pri dizajnu platforme uzeta je u obzir i njena namjena u bazenu. Zbog ograničenosti vidnog polja kamere nastojalo se učiniti platformu što manjom, a opet koliko toliko lako upravljivom. Vanjsko kućište je izgrađeno od slojeva stakloplastike s kojim je dobiven STEALTH izgled platforme. Naime, platforma je svojim većim djelom zaronjena u vodu, dok je iznad vode samo povišena ravna ploha pogodna za smještanje markera za  video-prepoznavanje. Potisnici su također, potpuno pod vodom i zaštićeni su unutar plastičnih cijevi. Zbog okolnih cijevi potisnici ne odaju nikakvu informaciju o gibanju, što daje dojam samopokretne platforme. Izvana je obojana u crno sa crvenkastim tribal šarama. U njenoj unutrašnjosti ima dovoljno mjesta tek za smjestiti acid-olovnu bateriju koja osigurava 2 sata autonomije te elektroničku pločicu sa čipovima i pojačalima snage. Neke od vanjskih karakteristika platforme su vidljive u tablici 2.1. Platforma je simetrična s obzirom na glavne osi što je rezultiralo istim dimenzijama za širinu i dužinu.

\begin{table}[htb]
\caption{\emph{Neke tehničke karakterisitke}}
\label{tbl:konstante}
\centering
\begin{tabular}{lr|lr} \hline
Dimenzije & Vrijednost & Dimenzije & Vrijednost\\ \hline
visina [m] & 0.18 & masa [kg] & 0.31 \\
širina [m] & 0.31  & volumen [$m^3$] & 0.5\\
dužina [m] & 0.31 & promjer cijevi [m] & 0.09 \\ \hline 

\end{tabular}
\end{table}

Srce platforme čine dva Atmel 8051 mikrokontrolera koji primaju signale preko radio veze te generiraju PWM signal koji se prosljeđuje na motore. Oni su izabrani zbog svoje jednostavnosti i široke zastupljenosti. Generirani PWM signal je programski emuliran unutar mikrokontrolera te doveden na tiristorski čoper koji je zaslužan za 16 diskretnih razina PWM signala u pozitivnom i negativnom smjeru.

\subsection{Sustav propulzije}
Sama platforma je pogonjena sa četiri kaljužne pumpe koje su pretvorene u potisnike. Pri dizajniranju platforme, kaljužne pumpe su izabrane zbog svoje niske cijene kao i zbog mogučnosti lake nabavke. Na osovinu motora postavljeni su propeleri koji osiguravaju dovoljan potisak. Nalaze se 10 cm udaljeni od centra mase i postavljeni su pod kutem od 45$^\circ$ u odnosu na koordinatni sustav platforme ćineći tako standarnu X-konfiguracija aktuatora. Time je osigurana sloboda gibanja u sva tri smjera slobode na horizontalnoj ravnini, odnosno u ovom slučaju, na površni vode. S četiri potisnika osigurana je također aktuatorska redudancija u slučaju kvara na pojedinom potisniku. Također je bitno reći da uvijek rade sva četiri propulzora s većim ili manjem utjecajem na sveukupno gibanje. Rezultat toga je ravnomjerno raspoređena generirana sila ili moment platforme. Slika govori tisuću riječi, a sljedeća upravo ono opisano.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=8.5cm, width=15.2cm]{ptat_model.png}
\caption{\emph{Platforma i X-konfiguracija propuzora}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

\subsection{Napajanje}
Jedan od zahtjeva koje je platforma morala ispuniti pri konstrukciji je bio minimalno jedan sat autonomnog rada. To je osigurano baterijom FIAMM FG 20451 nazivnog napona 12 $V$. Prema tehničkim podacima, pri povučenoj struji od 0.81 $A$ osigurano je pet sati rada, dok pri 3.09 $A$ je jedan sat autonomije. Masa baterije je 1.58 kg te ćini zajedno s kučištem platforme centar mase. Smještena je na sredini dna platforme dajući joj potrebnu stabilnost pri plovidbi.

\subsection{Bežična komunikacija}
Bežična komunikacija se temelji na RF modulu koji je uklopljen kao podsustav na elektroničkoj pločici platforme. U uvodnom opisivanju platforme spomenuto je da platforma samo prima upravljačke signale za pojedine aktuatore. Signali su kodirani u kodne riječi po osam bitova što je bilo dostatno za informaciju o kojem aktuatoru se radi, kolikom brzinom se treba vrtit i u kojem smjeru. Osim toga mikroprocesori na platformi su 8-bitni pa je opisano kodiranje opravdano. Kodna riječ je koncipirana na sljedeći način. Redni brojevi bitova su rastući s desna na lijevo. Nultni bit je predviđen za informaciju o smjeru vrtnje motore ( 1 za naprijed, nula za nazad). Slijedeća četiri bita su informacija o apsolutnoj brzini vrtnje(raspon jačine 0 -15) i zadnja tri bita sadrže adresu aktuatora kojem je ova informacija namijenjena. Osim za aktuatore šalju se i signali sa statusnu RGB ledicu koja signalizira što se događa s platformom. Npr. Kad platforma putuje prema zadanoj točki upaljena je jedna boja ledice, a kad se platforma pozicionira i održava poziciju i orijentaciju gori ledica druge boje. Prije svakog slanja korisnog bytea šalju se dva start byte-a koji mikroprocesoru kažu da je sljedeći byte podatak te da ga treba pročitat i obradit. Start byteovi su ovdje zbog frekvencijskih smetnji drugih komunikacijskih kanala te osiguravaju da platforma prima samo one podatke koje i treba primit. Serijska komunikacija je razvijena korištenjem programskog paketa LabVIEW. Primjer jednog paketa koji obuhvaća kodne riječi za sve motore, statusnu RGB ledicu i start byteove ispred svakog podatka dan je u sljedećoj tablici.

\begin{table}[htb]
\caption{\emph{kodne riječ}i}
\label{tbl:konstante}
\centering
\begin{tabular}{lr|l} \hline
namjena & kodna riječ & komentar\\ \hline
1. start byte & 01010011 & prvi start byte \\
2. start byte & 11000101 & drugi star byte\\
1. propulzor & 00110001 & osma brzina prema naprijed\\ \hline 
1. start byte & 01010011 & prvi start byte \\
2. start byte & 11000101 & drugi star byte\\
2. propulzor & 01001001 & četvrta brzina prema naprijed\\ \hline 
1. start byte & 01010011 & prvi start byte \\
2. start byte & 11000101 & drugi star byte\\
3. propulzor & 01111110 & petnaesta brzina prema nazad\\ \hline 
1. start byte & 01010011 & prvi start byte \\
2. start byte & 11000101 & drugi star byte\\
4. propulzor & 10010101 & deseta brzina prema naprijed\\ \hline 
1. start byte & 01010011 & prvi start byte \\
2. start byte & 11000101 & drugi star byte\\
ledice & 10101001 & upaljena ledica za dinamičko pozicioniranje\\ \hline 
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Korisničko sučelje i upravljanje}
Za potrebe upravljanja platformom razvijeno je sučelje u kojem je moguće na više načina upravljati platformom. Sve što se tiće programske implementacije napravljeno je u LabVIEW-u pa tako i grafičko sučelje.  Razvijeno je upravljanje\emph{ ručnom palicom} kojom se direktno generiraju sile i momenti koje se zakodiraju i šalju na platformu. Zatim, sljedeći mod rada je \emph{dinamičko pozicioniranje}. Jednostavnim prebacivanjem sklopke na grafičkom sučelju odabere se ovaj način upravljanja te se zada željena pozicija i orijentacija platforme. Zadnji mod rada je \emph{slijeđenje linija} i u nastavku rada bit će detaljno razrađen. Osim toga dinamičko pozicioniranje i slijeđenje linija objedinjeni su u jednu cjelinu i to tako da kad platforma prijeđe put po linijama dinamički se pozicionira u zadnjoj točki.

\chapter{Matematičko modeliranje}
\section{Koordinatni sustavi}
Prilikom analiziranja gibanja platforme te izrade samog matematičkog modela prikladno je definirati dva koordinatna sustava kao na slici 3.1.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=9cm, width=13cm, trim=0 0 0 0]{koordinatnisustav.png}
\caption{\emph{Definirani koordinatni sustavi}}
\label{fig:fer-logo}
\end{figure}

Gibajući koordinatni sustav smješten je uz platformu. Ishodište takvog sustava smješteno je u  centru mase platforme, a koordinatne osi podudaraju se s osima koordinatnog sustava vezanog uz zemlju. Definirane su kao
\begin{description}
\item $X$ - longitudinalna os (usmjerena od straga prema naprijed)
\item $Y$ - transverzalna os (usmjerena prema desnom boku)
\item $Z$ - normala (usmjerena od vrha prema dolje)
\end{description}
Orijentacije koordinatnih osi odabrane su prema pravilu desne ruke za oba koordinatna sustava.

\section{Matematički model platforme}
Osnovni matematički model platforme može se razložiti na nekoliko dijelova koji su prikazani slijedećom slikom. U narednim pododjeljcima opisan je svaki od blokova.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=7cm, width=16.5cm, trim=0 0 0 0]{platforma.png}
\caption{\emph{Matematički model platforme}}
\label{fig:fer-logo}
\end{figure}

\subsection{Model potisnika}
Sila koju razvija potisnik je u općenitom slučaju nelinearna funkcija koja ovisi o brzini vrtnje propelera. Radi jednostavnosti, nelinearni model je zamijenjen afinim modelom. Zamjena je valjana budući da se platforma giba ne giba velikim brzinama. Potisak svakog motora je dan izrazom:
\[\tau^i = K_Tu \tag{1} \]
Ako kontrolnu varijablu $u$ zamijenimo s \abs{$n^i$}$n^i$, dobit ćemo vezu između potiska motora i upravljačkog signala $n^i$ 

\[\tau^i = K_T \abs{n^i}n^i \tag{2}\]

Da bi dobili linearno upravljanje generiranim potiscima unaprijed je napravljena kompenzacija kvadratne funkcije tako što je svaki potisak nakon inverzne alokacije korijenovan. Dobiveni signali $n^i$ su u rasponu od -15 do 15 i proporcionalni su voltaži na svakom motoru. Nakon kompenzacije signali se kodiraju i šalju bežičnom komunikacijom na platformu.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=6cm, width=15cm]{kompenzacija.png}
\caption{\emph{Normirane prijelazne funkcije za binomne oblike}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

\subsection{Alokacija aktuatora}
U uvodnom opisivanju sustava propulzije spomenuta je \emph{X-konfiguracija} potisnika Smješteni su na rubovima platforme, zaštićeni u plastičnim cijevima zbog mogućih sudaranja. Svaki od propulzora smješten je pod kutem od $45\degree$ u odnosu na x-os platforme. Sile i momenti koje proizvode propulzori razlažu se na osnovne sile i momente
$\tau^\# = [X^\#, Y^\#, N^\#]^T$. $X^\#$ je sila napredovanja (\emph{engl. surge force}),$ Y^\# $je sila zanošenja (\emph{sway force}) i $N^\#$ je moment zaošijanja (\emph{yaw moment}).
Držeći se definiranog koordinatnog sustava uz platformu, očito je da je sila napredovanja usmjerena u smjeru longitudinalne osi, a sila zanošenja  u smjeru transverzalne osi. Moment zaošijanja definira se kao pozitivan u smjeru kazaljke na satu. Sve osi, a samim time i sile drže se pravila desne ruke. Kad se palac usmjeri prema dolje, u smjeru z-osi, smjer prstiju od x prema y je upravo i pozitivan smjer momenta zaošijanja.
Vektor sila koje generira svaki propulzor predstavlja se s vektorom $\tau^i^\#$ =$ [$\tau^1^\#$, $\tau^2^\#$, $\tau^3^\#$, $\tau^4^\#$]^T$. Veza između potiska svakog motora i sila i momenata koji djeluju na platformu je dana s alokacijskom matricom:

\[\tau^\# = \begin{bmatrix}sin(45)\degree & sin(45)\degree & sin(45)\degree & sin(45)\degree \\ sin(45)\degree & -sin(45)\degree & sin(45)\degree & -sin(45)\degree\\d & -d & -d & d \end{bmatrix} \tau^i^\# \tag{6} \]
Sudeći po alokacijskoj matrici platformom se može upravljati u tri stupnja slobode što je u primjenama gotovo redovito i slučaj.

\subsection{Dinamika}

Dinamički model platforme je izrazito spregnut i nelinearan. U općem slučaju tri stupnja slobode gibanja mogu se opisati s:
\[\alpha_uu' + \beta(u)u = \tau_u_E + X \tag{7} \]
\[\alpha_uv' + \beta(v)v = \tau_v_E + Y \tag{8} \]
\[\alpha_rr' + \beta(r)r = \tau_r_E + N \tag{9} \]

gdje je$ [u, v, r]^T$ vektor brzine, a sa$ [\tau_u_E, \tau_u_E, \tau_r_E]^T$ je označen vektor smetnje i nemodelirane dinamike. Iznos hidrodinamičkog otpora strujanja $\beta$, kao i njegova karakteristika određen je nizom eksperimenata prilikom identifikacije. Manji hidrodinamički otpor upućuje na manji otpor prilikom kretanja. Konačne koeficijente hidrodinamičkog otpora, kao i ostale parametre može se vidjeti u tablici (). Drugi parametar kojeg je bilo potrebno odrediti prilikom identifikacije je koeficijent inercije $\alpha$. Cjelokupna dinamika platforme opisana je sa gornje tri diferencijalne jednadžbe. Zbog fizičke konstrukcije i simetričnosti alociranih propulzora, prve dvije diferencijalne jednadžbe su gotovo jednake, sa istim dinamičkim parametrima. Ta pogodnost je iskorištena prilikom sinteze regulatora upravljanja.
\subsection{Kinematika}

Ljudi, iz svoje perspektive, definiraju svoju lokaciju ili lokaciju nekog objekta u odnosu na zemlju. Prema tome, lokacija svakog objekta se može opisati u odnosu na koordinatni sustav vezan uz zemlju. Koordinatni sustavi potrebni za matematičko modeliranje su opisani u odjejlku (), a ovdje će biti dana veza između njih preko kinematičkih veličina. Kinematički model, kao što i samo ime sugerira, daje veze između brzina definiranih u koordinatnom sustavu vezanom za platformu $[u, v ,r]^T$ i brzina u koordinatnom sustavu vezanom za Zemlju. Ove zadnje brzine prikladno je promatrati kao derivacije vektora pozicije u zemaljskom koordinatnom sustavu. Budući da se platforma nalazi na površini vode, da bi se izrazile kinematičke veličine, potrebno je samo definirati rotacijsku matricu oko z-osi. Smjer rotacije je definiran suprotno kazaljki na satu, a kut za koji treba zarotirati sustav je označen sa $\psi$. $\psi$ je, međuostalim, orijentacija platforme.
  
\[\begin{bmatrix}x' \\y'\\\psi' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos(\psi) & -sin(\psi)\degree & 0 \\ sin(\psi) & cos(\psi) & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u\\v\\r \end{bmatrix} \tag{10} \]

\chapter{Definicija problema slijeđenja linija}
U ovom poglavlju dana su pravila upravljanja za slijeđenje linije te je formuliran problem slijeđenja linije u prvom odjeljku i opisan mehanizam automatskog prebacivanja na sljedeću definiranu liniju za praćenje u drugom. 

\section{Definiranje upravljačkih pravila}
Linija koju bi platforma trebala slijediti je određena sa dvije točke u 2D prostoru i njihovim koordinatama. Označimo početnu točku sa $T_1$ i krajnju sa $T_2$ te definirajmo orijentiranost linije od točke $T_1$ prema točki $T_2$. Označimo i trenutnu poziciju platforme sa $p(t) = [x(t), y(t)]^T$, a vektore koordinata pridružene točkama $T_1$ i $T_2$ sa $p_T_1(t) = [x_T_1(t), y_T_1(t)]^T$ i $p_T_2(t) = [x_T_2(t), y_T_2(t)]^T$
U skladu sa koordinatnim sustavima definiranim u prethodnom poglavlju, zamislimo da je koordinatni sustav vezan za liniju slijeđenja tako da se ishodište nalazi u točki $T_2$ te je rotiran oko z osi, odnosno x-os je rotirana za pozitivan kut $\Gamma = atan2(y_2 - y_1, x_2 - x_1)$ u odnosu na stacionarni položaj platforme koji se podudara sa globalnim koordinatnim sustavom.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=7cm, width=7cm]{line_following.jpg}
\caption{\emph{koncept slijeđenja linije}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

Odatle, koordinate u koordinatnom sustavu vezanom za liniju se računaju prema:
\[ \varepsilon(t) = R(\Gamma)^T(p(t) - p_T_2(t))\footnote{Transponirana rotacijska matrica jednaka je rotacijskoj matrici u smjeru kazaljke sata} \]

gdje je:
\[R(\Gamma)] = \begin{bmatrix} cos(\Gamma) & -sin(\Gamma) \\ sin(\Gamma) & cos(\Gamma) \end{bmatrix}

\[\varepsilon(t) = [s(t), e(t)]^T  \in R^2\]
Vektor $\varepsilon(t)$ sastoji se od udaljenosti duž linije $s(t)$ i udaljenosti okomite na liniju $e(t)$.Bitno je uoćiti da udaljenosti mogu poprimiti i negativne vrijednosti. Glavna zadaća slijeđenja je osigurati da je :
\[\varepsilon(t) = -(x(t) - x_2(t))sin(\Gamma) + (y(t) - y_2(t))cos(\Gamma) = 0\]
odnosno, mora mora vrijediti:
\[\displaystyle\lim_{t\to\infty}e(t) = 0 \]

Sad je poprilično jasno da se mora osigurati konvergencija okomite udaljenosti koju je sasvim razumno imenovat pogreškom, odnosno regulacijskim odstupanjem. Projektirani regulator opisan u sljedećem povlavlju imat će upravo taj zadatak. Za razliku od $e(t)$, uzdužnom dužinom $s(t)$ se ne upravlja. Smanjuje se kako se približavamo drugoj točki, a u trenutku kad se dovoljno približimo za prebacivanje na drugu liniju koju treba pratiti skače na veliku vrijednost.
Potrebno je još definirati vezu između dinamičkih i kinematičkih veličina u koordinatnom sustavu vezanom za platformu i zemaljskog  koordinatnog sustava koji je definiran okvirom slike koju dobivamo iz kamere. Ukupna brzina platforme u zemaljskom koordinatnom sustavu se može razložiti na dva vektora brzine: vektor $u_r$ paralelan liniji je te vektor $u_d$ koji je na nju okomit. Veza između tih brzina i brzina u koordinatnom sustavu platforme je dana s
\[\begin{bmatrix} u_r \\ u_d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\gamma) & sin(\gamma) \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \tag{1} \end{bmatrix} \]
gdje je $\gamma = \Gamma - \psi$ kut za koji je platforma zakrenuta u odnosu na liniju. Na sličan način definira se relacija između sila koje djeluju na platformu (sila napredovanja i sila zanošenja)

\[\begin{bmatrix} X \\ Y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\gamma) & -sin(\gamma) \\ sin(\gamma) & cos(\gamma) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_r \\ X_d \tag{2} \end{bmatrix} \]

Prema (2.x) i činjenici da je platforma simetrična diferencijalna jednadžbe za X i Y\footnote{X - Surge Force, Y - Sway Force, N - Yaw Moment vidljivi na slici 4.2.} kojim je opisana dinamika sustava su praktično iste. Potpuni matematički model slijeđenja linije dan je sljedećim jednadžbama:
\[\alpha_uu_d' + \beta(u_d)u_d = X_d \tag{3}\] 
\[d' = u_d + \zeta \tag{4}\]
gdje su
\begin{description}
\item $X_d$ - izlaz iz regulatora, odnosno proračunata sila u smjeru okomitom na liniju,
\item $u_d$ - brzina u smjeru okomitom na liniju,
\item $u_d'$ - akceleracija u smjeru okomitom na liniju,
\item $\alpha_u$ - inercijska konstanta procesa,
\item $beta(u)$ - parametar otpora strujanju,
\item $d$ - udaljenost platforme od linije,
\item $\zeta$ - smetnje okomite na liniju,
\end{description}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=7.5cm, width=15.2cm]{surge_sway.png}
\caption{\emph{Line following}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

\section{Konačni automat za prebacivanje na praćenje slijedeće linije}
Sad kad je definiran problem praćenja linije, sljedeći korak je bio implementirati automatsko prebacivanje na sljedeću liniju kad se platforma približi kraju linije koju prati. Dakle, kad je platforma u relativnoj blizini konačne točke, automatski se treba aktivirati zadatak praćenja slijedeće linije. Za rješenje ovog problema koristio sam matematičku tvorevinu konačnih automata. Konačni automat ili automat konačnih stanja definira se kao diskretni matematički model koji se sastoji od konačnog broja stanja, prijelaza između stanja i akcija koje obavlja.
Jednom kad korisnik odabere točke između kojih se interpoliraju linije koje platforma treba pratiti pokreće se blok u kojem je programski implementiran konačni automat. Stanja su označena rednim brojevima koja odgovaraju označenim točkama na grafičkom sučelju ,a počinju od broja 1. Svako stanje ima drugačiju liniju za praćenje. Tako npr. stanje broj 1 ima pridruženu liniju koju definiraju točke $T_1$ i $T_2$, stanje broj 2 ima pridruženu liniju koju definiraju točke $T_2$ i $T_3$., stanje k ima pridruženu liniju deja je definirana točkama $T_k$ i $T_(k+1)$. Važno je uočiti da krajnja točka prethodnog stanja je početna točka sljedećeg stanja. Prijelaz između stanja je jednoznačan, odnosno, moguće je samo u smjeru stanja rastućih indeksa. Nije moguće vratiti se po liniju koju je platforma upravo završila pratiti, već se mora prebaciti na sljedeću. Isto tako, nije moguće preskoćiti pojedinu točku prilikom pračenja linije. Uvjet koji je potrebno ispuniti da se prebacimo iz trenutnog stanja u sljedeće je da trenutna udaljenost platforme od krajnje točke linije bude manja od 10\% sveukupne dužine linije. Sve dok je proračunata udaljenost  veća od definirane udaljenosti koja vodi u sljedeće stanje, ostajemo u istom stanju. To je pokazatelj da platforma još nije završila sa praćenjem trenutne linije te da treba pričekati da to napravi te joj onda proslijediti iduću liniju 

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=6cm, width=15cm]{bazen_tocke.png}
\caption{\emph{Konačni automat i veza sa linijama}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

Iako se za mjerenje udaljenosti od krajnje točke mogla koristiti udaljenost duž linije uvedena u (), ipak je odabrana udaljenost proračunata u koordinatnom sustavu vezanom za zemlju, odnosu sliku iz kamere:
\[d_i = \sqrt{(x_i_+_1(t) - x(t))2 + (y_i_+_1(t) - y(t))^2} \tag{10}\]
To je napravljeno iz činjenice da ako se zbog utjecaja raznih smetnji platforma ne nalazi na liniji, već s pogreškom $d$ lijevo ili desno od nje uzme upravo prava udaljenost od točke. Uzdužna udaljenost bi mogla težiti k nuli, a platforma bi se mogla nalaziti poprilično daleko od linije i točke. Naravno, ovaj slučaj je praktički nemoguć u prilikama kakve vladaju u laboratorijskom bazenu, no dodatno osiguranje nije za odmet.Ipak, ovaj dio je jako bitan prilikom uključenja u rad ako se platforma nalazi jako daleko od definirane prve linije. Tada je potrebno isključiti željenu unaprijednu silu  $X_r$\footnote{Unaprijednom silom se ne upravlja već je konstantna duž cijelog putovanja}i pričekati da se platforma nađe u razumnom području u kojem može izvršiti svoj zadatak. Uz isključeni $X_r$ platforma putuje iz svoje trenutne poziciju okomito prema liniju i kad se nađe u dopuštenom radijusu nastavlja sa normalnim radom.
Zadnje stanje se bitno razlikuje od ostalih. Ono je okarakterizirano točkom u kojoj se platforma dinamički pozicionira. Dinamičko pozicioniranje podrazumijeva održavanje željene pozicije i orijentacije. Ako platformu gurnemo rukom iz pozicije koju je zauzela, ona mora biti sposobna vratiti se u istu poziciju s istom orijentacijom koju je držala prije djelovanja poremećaja. Nadograđeni regulator za održavanje pozicije i orijentacije u zadnjoj točki putanje opisan je također u sljedećem poglavlju.



\chapter{Dizajn regulatora}
u ovom poglavlju opisana je procedura projektiranja regulatora za praćenje linije na temelju željene modelske funkcije koji osigurava pogrešku u ustaljenom stanju jednaku nuli pod utjecajem vanjskih smetnji. 
\section{Odabir modelske funkcije}
Željena prijenosna funkcija zatvorene petlje je dana s:
\[G_m(s) = \frac{\alpha(s)}{\beta(s)} = \frac{\alpha_0 + \alpha_1s + ... + \alpha_vs^v}{\beta_0 + \beta_1s + ... + \beta_us^u}     ,u > v \tag{14}\]
gdje su $\alpha(s)$ i $\beta(s)$ polinomi kompleksne varijable $s$.
Pri sintezi regulatora metodom zatvorene prijenosne funkcije postavljen je zahtjev da ne smije biti trajnog regulacijskog odsupanja, odnosno:
\[\displaystyle\lim_{t\to\infty}G_m(0) = 1 \tag{15} \]
Matematički model praćenja linije dan u () i () može također biti opisan racionalnom prijenosnom funkcijom procesa.
\[G_s(s) = \frac{D(s)}{C(s)} = \frac{d_0 + d_1s + ... + d_ms^m}{c_0 + c_1s + ... +c_ns^n}, n > m \tag{16}\]
 Nakon Laplaceove transformacije diferencijalnih jednadžbi, prijenosna funkcija je sljedećeg oblika:
\[G_s(s) = \frac{1}{s(\alpha_us + \beta_u)}\tag{17} \]
s parametrima identifikacije $\alpha_u$ i $\beta_u$ prikazanim u tablici ().
Prijenosna funkcija regulatora kojeg treba projektirati je pretpostavljenog oblika:
\[G_R(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = K_R + \frac{K_I}{s} + K_Ds \tag{18}\]
S obzirom na okruženje u kojem se platforma nalazi i moguća sudaranja s stijenkama bazena, izabrao sam\emph{ binomnu modelsku funkciju} zbog njenom aperiodskog odziva. Osim toga, binomna funkcija daje najbrži aperiodski odziv zbog svojih višestrukih polova koji se nalaze na realnoj osi. Nadalje odabrana je i zbog samog afiniteta autora prema asimptotskom približavanju liniji kojeg osigurava upravo ova modelska funkcija.
\[G_m(s) = \frac{1}{\frac{1}{\omega_n}s^s + \frac{3}{\omega_n}s^2 + \frac{3}{\omega_n}s + 1} \tag{19} \]

\section{Sinteza regulatora u kontinuiranoj domeni}
Projektiranju regulatora se pristupilo u s-domeni što je i bilo najlogičnije. Struktura regulatora dana s (18) proširena je na poseban oblik tj. I-PD regulator. Strukturu opisanu u prethodnom poglavlju možemo slobodno zadržati budući da je referentna vrijednost na ulazu u regulator $d_ref$ = 0 što je  uvjet za praćenje linije. S $d_ref$ = 0 I-PD regulator svodi se na klasičan PID regulator. Kakogod, I-PD struktura regulatora je prihvaćena u podvodnoj robotici zbog toga što nagle promjene referentne veličine ne izazivaju nagle promjene upravljačke veličine što je jako poželjno u sustavima upravljanjima plovilima. Izlaz iz regulatora je generirana sila $X_d$ koja je dana sa sljedećom integro-diferencijalnom jednadžbom.
\[ X_d = K_I\int_0^t (d_r_e_f - d)\,dt - K_Rd - \frac{d}{dt}d \tag{20} \]

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=6cm, width=15cm]{regulator1.png}
\caption{\emph{zatvorena petlja za slijeđenje linije}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

Jedini dinamički parametar prema kojem je određena $\omega_n$ regulatora je ulazno vrijeme prijelazne funkcije\footnote{Ulazno vrijeme definira se kao ono vrijeme koje je potrebno prijelaznoj funkciji da dođe prvi put do ustaljenog stanja}. Ovdje sam se vodio zahtjevom da se u realnim uvjetima dobije stabilan, dinamički što brži sustav. Zbog kompleksnosti matematičkog modela ulazno vrijeme $t_u$, odnosno $\omega_n$ regulatora određeni su metodom pokušaja i promašaja. Iz normirane prijelazne funkcije $h_x(\omega_nt)$ za binomni oblik trećeg reda očitano je:
\[\omega_nt = 10 \tag{21}\]
Postupno povećavajući ulazno vrijeme i pri tome smanjujući $\omega_n$ promatrao sam simulacijski odziv sustava. Zaustavio sam se kad sam dobio stabilan sustav i za sigurnost uzeo još malo. Ulazno vrijeme $t_u$ je na kraju zadržano na 20s što se može ćiniti dosta velikim, no s obzirom na poveću masu platforme i inertnost sasvim je opravdano. 

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=9cm, width=14cm]{normirane.png}
\caption{\emph{Normirane prijelazne funkcije za binomne oblike}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

Uz odreditu $\omega_n$ jedini preostali zadatak je odrediti parametre regulatora. Budući da sam ranije definirao binomnu modelsku funkciju trećeg reda kao željeno ponašanje sustava prema relaciji koja povezuje otvoreni i zatvoreni krug
\[G_m(s) = \frac{G_R(s)G_S(s)}{1 + G_R(s)G_S(s)} \tag{22} \]
te uvrštavanjem  prijelaznim funkcija regulatora i procesa i uz zanemarenje nula koje su se pojavile u brojniku ukupna zatvorena petlja za praćenje linije može se prikazati u sljedećoj formi:
\[\frac{d}{d_ref} = \frac{1}{\frac{\alpha_u}{K_I}s^3 + \frac{(\beta_u + K_D)}{K_I}s^2 + \frac{K_R}{K_I}s + 1} \tag{23} \]
Izjednačavanjem koeficijenata željene modelske funkcije i koefitijenata u (23) možemo odrediti parametre regulatora slijedećim redoslijedom:

\begin{description}
\item $K_I = \frac{\alpha_u}{\beta_3}$,
\item $K_R = K_I\beta_1$,
\item $K_D = \beta_2K_I - \beta_u$,
\end{description}
Svi parametri i svi podaci dani su u tablici radi preglednosti.

\begin{table}[htb]
\caption{\emph{Parametri}}
\label{tbl:konstante}
\centering
\begin{tabular}{lr|l} \hline
Parametar & Vrijednost & Opis\\ \hline
$\beta_1$ & 6 & koeficijent uz $s$ u željenoj binomnoj funkciji \\
$\beta_2$ & 12 & koeficijent uz $s^2$ u željenoj binomnoj funkciji\\
$\beta_3$ & 8 & koeficijent uz $s^3$ u željenoj binomnoj funkciji \\ \hline
K_R & 6.189 & proporcionalna konstanta\\
K_I & 1.0315 & integracijska konstanta\\
K_D & 12.378 & derivacijska konstanta\\ \hline
$\alpha_u$ & 8.252 $\frac{s^2}{pix}$ & inercijski koeficijent procesa\\
$\beta_u$ &  0.0378 $\frac{s^2}{pix^2}$ & koeficijent optorara strujanja\\ \hline
$\omega_n$ & 0.5 $s^-1$ & kružna frekvencija regulatora\\
$t_u$ & 20 s & ulazno vrijeme\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
Idealan derivacijski kanal pri samoj implementaciji zamijenjen je realnim dodajući mu u seriju$ PT_1$ član te je konačan oblik derivacijskog člana:
\[G_D(s) = \frac{K_Ds}{\frac{K_D}{10}s + 1} \tag{24} \]

\section{Analiza točnosti u ustaljenom režimu rada}
Pod ustaljenim režimom rada u našem slučaju podrazumijeva se da nakon eventualnog prebacivanja na praćenje slijedeće linije i prijelaznih pojava koje se događaju pritom platforma slijedi zadanu liniju. Analiza točnosti provedena u ovom odjeljku pokazat će s kolikom točnošću ona to radi, odnosno koliko je statičko regulacijsko odstupanje koje osigurava projektirani regulator. Budući da je ulaz (referentna veličina) regulatora postavljena na nulu što je zahtjev slijeđenja linije, za potrebe ovog razmatranja, zamislimo da je ulaz skokovita (konstantna) pobuda veličine $A$. To bi odgovaralo slijeđenju linije sa razmakom $A$ od nje.
Statičko regulacijsko odstupanje definira se kao odstupanjesustava u ustaljenom stanju, nakon istitravanja prijelaznog procesa, uslijed djelovanja konstantne (skokovite) postavne veličine. Za naš sustav slijedi:
\[E(s) = \frac{1}{1 + G_R(s)G_S(s)}R(s) = \frac{s(\alpha_us + \beta_u)A}{\alpha_us^3 + (K_D + \beta_u)s^2 + K_Rs + K_I} \tag{25} \]

Koristeći teorem o konačnoj vrijednosti u Laplaceovom području proizlazi:
\[\displaystyle\lim_{t\to\infty}e(t) = \lim_{s\to 0}sE(s) = 0 \tag{26} \]
Čime je pokazano da statičke pogreške u sustavu nema te da u ustaljenom stanju platforma slijedi liniju bez pogreške.

\section{Efekt namatanja integratora}
Pri projektiranju regulatora posebna pažnja se mora posvetiti ograničenjima izvršnih elemenata kojima regulator prosljeđuje upravljački signal. U realnim uvjetima, modelira se element zasićenja između regulatora i procesa koji ograničava kontrolnu akciju bez obzira na izlaz iz regulatora. Ponašanje elementa za zasićenje je vrlo jednostavno.
\[
u(t) = \left\{ 
\begin{array}{l l}
  $U_m_a_x$ & \quad \text{ako $u(t)$ >= $U_m_a_x$}\\
  $u(t)$ & \quad \text{ako $U_m_i_n$ < $u(t)$ < $U_m_a_x$}\\
  $U_m_i_n$ & \quad \text{ako $u(t)$ <= $U_m_i_n$}\\
\end{array} \right
\tag{27}\]
Ulaskom upravljačkog signala u zasićenje prekida se povratna veza i sustav radi u otvorenoj petlji, budući da izvršni elementi ostaju u graničnom položaju neovisno o izlaznom signalu regulatora.Izvršni elementi, u ovom slučaju potisnici ne mogu dati veći potisak od maksimalnog\footnote{Karakteristika pojedinog potisnika je dana slikom ()}, a algoritam regulatora to od njih zahtijeva u nekim slučajevima. I-PD regulator, kao i svaki regulator koji sadrže integracijsku komponentu nastavit će integrirati regulacijsko odstupanje i time upravljački signal može poprimiti vrlo velike iznose. Pri smanjenju regulacijskog odstupanja regulator vrlo sporo izlazi iz zasićenja. To treba spriječiti i zato je kod regulatora slijeđenja linije implementirano sprječavanje efekta zaleta uvjetnim integriranjem. Integracijski član I-PD regulatora će integrirati ako su ispunjeni određeni uvjeti, odnosno neće integrirati ako nisu. Ako je ispunjen jedan od ova dva uvjeta:
\[$(u(t)$ > $U_m_a_x$ \land  $e(t)$ > 0) \vee ($u(t) < $U_m_i_n$ \land  $e(t) < 0) \tag{28}\]
onda se zastavica S postavlja u nula
\[S = 0\]
a ako nijedan nije ispunjen tada S poprima vrijednost jedan. S simbolizira prekivač sa dva moguća toka signala. Na indeksu 0 nalazi se nula koju se vodi integratoru kad dolazi do zasićenja te se zaustavlja rad integratora na taj način. Jedinica spaja signal regulacijskog odstupanja s ulazom u integrator. Ovo je slučaj kad regulator normalno radi i ne dolazi do namatanja integratora. Cjelokupna struktura konačnog regulatora prikazana je sljedećom slikom

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=11cm, width=15cm]{struktura.png}
\caption{\emph{Struktura I-PD regulatora}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

\section{Diskretizacija regulatora i konačne rekurzivne jednadžbe}
Kako bi mogli ostvariti računalom upravljani sustav, projektirani kontinuirani regulator potrebno je prije svega diskretizirati. prije nego se posvetimo samom postupku diskretizacije, bitno je napomenuti da je kontinuiran regulator projektiran uz zanemaren utjecaj diskretizacije prema EMUL1 metodi. Vrijeme uzorkovanja je izabrano na standarnih 0.1 sekundi te se čitav program realiziran u LabVIEW-u vrti u petlji s tim vremenom.Osim toga, malo vrijeme uzorkovanja ima za posljedicu da ZOH element koji je zanemaren nema gotovo nikakvog utjecaja na amplitudnu i faznu karakteristiku otvorenog kruga. Kružna frekvencija $\omega_c$ može se približno odrediti prema izrazu:
\[\omega_c = \frac{1.5}{t_a_5_0} = 0.215 \frac{rad}{s}\tag{39}\]
Ako ZOH aproksimiramo PT1 članom izraza 
\[\frac{1}{1 + \frac{T}{2}s} = \frac{1}{1 + 0.05s} \tag{40}\]
njegov utjecaj na presječnu frekvenciju i pojačanje na niskim frekvencijama je neznatan.
\[\abs{\frac{1}{1 + 0.05j\omega_c}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0.05^2\omega_c^2}} = 0.999 \tag{51} \]
Utjecaj na faznu karakteristiku također zanemariv.
\[\varphi = -\arctan0.05\omega_c = 0.615\degree \tag{52}\]

 Sama diskretizacija provedena je Eulerovom metodom unazadne diferencije i konačne prijenosne funkcije pojedinih regulacijskih kanala su dane s:
\[G_P(z) = 6.189 \tag{52}\]
\[G_I(z) = \frac{0.175355z}{z-1} \tag{53}\]
\[G_D(z) = \frac{9.2525z - 9.2525}{z - 0.925} \tag{54}\]

Konačna paralelna implementacija digitalnog regulatora napravljena je sa rekurzivnim jednadžbama za svaki član posebno.

\[u_P(k) = 6.189 \tag{55}\]
\[u_I[k] = u_I[k-1] + 0.175355[k] \tag{56}\]
\[u_D[k] = 0.92525u[k-1] + 9.2525 d[k] + 9.2525d[k-1] \tag{57}\] 

\section{Dinamičko pozicioniranje}
Cjelokupan sustav regulacije nadograđen je za upravljanje dinamičkim pozicioniranjem. Radi je zapravo o kontroliranju unaprijedne sile koja je kod slijeđenja linije kontrolirana u otvorenoj petlji, odnosno bila je konstantna cijelo vrijeme putovanja. Prema izrazima () () ukupna udaljenost je razložena na udaljenost okomitu na liniju $e(t)$ i na udaljenost uzduž linije $s(t)$.Iz () slijedi potpuni izraz prema kojem se računa duljina uzduž linije.

\[s(t) = cos(\Gamma)(x(t) - x_T_2) + sin(\Gamma)(y(t) - y_T_2) \tag{58} \]
Prilikom definiranja pravila upravljanja za slijeđenje linije rečeno je da se unaprijednom silom ne upravlja. Nadogradnja opisana u ovom odjeljku zasniva se upravo na uvođenju kontrole za tu silu uz već postojeći regulator slijeđenja linije. Treba napomenuti da je dinamičko pozicioniranje aktivno samo pri slijeđenju zadnjeg segmenta zadnje linije te se može promatrati kao stabilizacija platforme u ishodištu odabranog sustava vezanog uz drugu točku linije.
Pri dizajniranju regulatora iskorištena je pogodnost simetrije platforme. Parametri identificirani za gibanje unaprijed isti su kao i parametri za gibanje u smjeru okomitom za liniju. Upravo zbog toga regulator stupnja slobode prema naprijed je isti kao i opisan I-PD regulator slijeđenja linije. Razlikuje ih samo ulaz, koji u slučaju novog regulatora više nije udaljenost okomita na liniju već udaljenost uzduž linije do druge njezine točke. Svi postupci pri dizajniranju regulatora slijeđenja linije vrijede i za ovaj regulator. 
Jedna misija koju bi platforma obavljala sastojala bi se dakle od slijeđenja $n$ linija pri čemu se kod zadnje linije upravlja i gibanjem prema naprijed s ciljem da se platforma zaustavi u željenoj poziciji držeći željenu orijentaciju koju je držala cijelim putovanjem. Dakako, upravljanje njezinom orijentacijom je neovisno o ostalim upravljanjem pa je moguće i mijenjati orijentaciju.

\section{Regulator orijentacije}

Treći stupanj slobode gibanja odnosi se na orijentaciju platforme. Ona se upravlja željenim momentom zaošijanja N. U skladu sa koordinatnim sustavima N se definira kao pozitivan u smjeru kazaljke sata i stoga je i pozitivni smjer orijentacije platforme definiran upravo tim smjerom. Regulatorom trećeg stupnja slobode željelo se postići održavanje željene orijentacije tokom cijelog putovanje. Odnosno, slijeđenje referentne veličine na ulazu regulacijskog kruga. Sam postupak sinteze regulatora temeljen je na Truxal - Guilleminovom postupku. kao i u slučaju regulatora slijeđenja linije, opet se razmatraju prijenosne funkcije procesa i regulatora definirane s () (). Regulator je projektiran tako da prijenosna funkcija zatvorenog sustava odgovara modelskoj funkciji $G_m(s)$. Iskorištena je binomna modelska funkcija trećeg reda, kao i za regulator slijeđenja linije s time da regulator više nije pretpostavljenog oblika već sadrži u sebi inverznu prijenosnu funkciju procesa.
Prema vezi otvorenog i zatvorenog regulacijskog regulacijskog kruga koja je dana u (), slijedi prijenosna funkcija regulatora.
\[G_R(s) = \frac{1}{G_S(s)}\frac{G_m(s)}{1 - G_m(s)} \tag{99} \]

Regulatorom bi se moglo potpuno kompenzirati dinamičko vladanje procesa i stoga se regulator projektiran TG postupkom naziva i kompenzacijskim regulatorom. Struktura zatvorenog kruga sa opisanim regulatorom može se prikazati slikom ()

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=4cm, width=14cm]{tg.png}
\caption{\emph{zatvoreni regulacijski krug}}
\label{fig:platforma}
\end{figure}

Referentna veličina koja se zadaje na ulazu je željena orijentacija u stupnjevima, dok je signal povratne veze trenutna orijentacija platforme, također u stupnjevima. Regulacijsko odstupanje računamo je na temelju ovih dviju veličina i programski je prilagođeno tako da je ono pozitivno u smjeru kazaljke na satu. Implementirano je također računanje regulacijskog odstupanja tako da ono bude minimalno. Ako se npr. platforma nalazi 30\degree u odnosu na referentni zemaljski sustav, a mi želimo da zauzme orijentaciju od 330\degree. odstupanje će biti izračunato ko $-60\degree$, što govori o tome da platforma prilikom kontrole orijentacije vrši najmanji mogući put prema željenoj orijentaciji.
Odabrano ulazno vrijeme zatvorenog kruga je $4 s$, a iz normirane prijelazne funkcije za binomno oblik trećeg reda dobije se $\omega_nt = 10$. Iz toga je izračunata $\omega_n$ iznosa $2 s^-1$. Konačna rekurzivna jednadžba digitalnog regulatora implementirana u programu upravljanja je 
\[ u[k] = 1.541u[k-1] - 0.606u[k-2] + 16.42e[k] + 0.8894e[k-1] - 15.53e[k-2] \tag{100}\]


\chapter{Rezultati odziva simulacije i stvarnog sustava}

\chapter{Zaključak}
Zaključak.

\bibliography{literatura}
\bibliographystyle{fer}
\begin{enumerate}
 \item  Fossen, T. Guidance and Control of Ocean Vehicles, John Wiley and Sons,England, 1994.
 \item Mišković, N., Vukić, Z., Bibuli, M., Caccia, M., Bruzzone, G. Marine vehicles line following controller tuning through self-oscillation experiments. 17th Mediterranean Conference on Control and Automation, Thessoloniki, Greece, 2009.
\item Mišković N., Bibuli, M., Bruzzone, G., Caccia, M., Vukić, Z. Tuning marine guidance controllers through self-oscillation experiments, MCMC'09 Conference, 2009.
\item Vukić, Z., Kuljača Lj. Automatsko upravljanje - analiza linearnih  sustava, Kigen, Zagreb, 2005.
\item Mišković, N. Bespilotne ronilice - identifikacija i upravljanje. Kvalifikacijski doktorski ispit, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet elektrotehnike i računarstva.
\item Mišković, N, Nađ, Đ., Vukić, Z. Guidance of Laboratory Platforms, MIPRO 2010.
\item Mišković, N., Nađ, Đ., Vukić, Z., Marszalek, B. Laboratory Platforms for Dynamic Positioning - Modeling and identification, OCEANS 2010.
\item Breivik, M., Fossen I. T. Guidance  Laws for Autonomous Underwater Vehicles, Norwegian University of Science and Technology, Centre fcommunication for Ships and Ocean Structures.
\item Collu M., Patel, H. M., Trarieux, F. The longitudinal static stability of an aerodynamically alleviated marine vechicle, a matematical model, Proceedings of The Royal Society
\item Packard A. Saturation and Antiwindup Strategies, ME 132, US Berkley, Spring 2005.
\item Borhaug, E., Pavlov, A., Ghabcheloo, R., Pettersen K. Y., Pascoal A., Silvestre, C. Formation Control of Underactuated Marine Vehicles with Constrains, Dept. of Engineering Cybernetics Norwegian University of Science and Technology and Dept. Elecrical Engineering of Lisbon, Portugal.
\item Greytak, B., M., High Performance Path Following for Marine Vehicle using Azimuthing Podded Propulsion, Massachusetts Institute of Technology, February 2006.
\item Jenssen, N., Realfsen B., Power Optimal Thruster Allocation. Dynamic Positioning Conference,October 17. 18. 2006., Kongsberg, Norway. 
 
 \end{enumerate}


 



\begin{sazetak}
Sažetak na hrvatskom jeziku.

\includegraphics{2ay.png}



\kljucnerijeci{Ključne riječi, odvojene zarezima.}
\end{sazetak}


% TODO: Navedite naslovn na engleskom jeziku.
\engtitle{Title}
\begin{abstract}
Abstract.

\keywords{Keywords.}
\end{abstract}

\end{document}
